Ускорение нормали. Тангенциальное и нормальное ускорение. Решение задачи на определение центростремительного ускорения

Чтобы уметь решать различные задачи на движение тел по физике, необходимо знать определения физических величин, а также формулы, с помощью которых они связаны. В этой статье будут рассмотрены вопросы, что такое тангенциальная скорость, что такое полное ускорение и какие компоненты его составляют.

Понятие о скорости

Двумя основными величинами кинематики перемещения тел в пространстве являются скорость и ускорение. Скорость описывает быстроту перемещения, поэтому математическая форма записи для нее имеет следующий вид:

Вам будет интересно:

Здесь l¯ - является вектором перемещения. Иными словами, скорость - это производная по времени от пройденного пути.

Как известно, всякое тело движется по воображаемой линии, которая называется траекторией. Вектор скорости всегда направлен по касательной к этой траектории, в какой бы точке не находилось движущееся тело.

Существует несколько названий величины v¯, если рассматривать ее совместно с траекторией. Так, поскольку направлена она по касательной, то ее называют тангенциальной скоростью. Также о ней могут говорить, как о линейной физической величине в противоположность угловой скорости.

Вычисляется скорость в метрах в секунду в СИ, однако на практике часто пользуются километрами в час.

Понятие об ускорении

В отличие от скорости, которая характеризует быстроту прохождения телом траектории, ускорение - это величина, описывающая быстроту изменения скорости, что математически записывается так:

Как и скорость, ускорение - это векторная характеристика. Однако его направление не связано с вектором скорости. Оно определяется изменением направления v¯. Если в процессе движения скорость не изменяет своего вектора, тогда ускорение a¯ будет направлено вдоль той же линии, что и скорость. Такое ускорение называют тангенциальным. Если же скорость будет менять направление, сохраняя при этом абсолютное значение, то ускорение будет направлено к центру кривизны траектории. Оно называется нормальным.

Измеряется ускорение в м/с2. Например, известное всем ускорение свободного падения является тангенциальным при вертикальном подъеме или падении объекта. Его величина вблизи поверхности нашей планеты составляет 9,81 м/с2, то есть за каждую секунду падения скорость тела увеличивается на 9,81 м/с.

Причиной появления ускорения является не скорость, а сила. Если сила F оказывает действие на тело массой m, то она неминуемо создаст ускорение a, которое можно вычислить так:

Эта формула является прямым следствием из второго закона Ньютона.

Полное, нормальное и тангенциальное ускорения

Скорость и ускорение как физические величины были рассмотрены в предыдущих пунктах. Теперь мы подробнее изучим, какие компоненты составляют полное ускорение a¯.

Предположим, что тело движется со скоростью v¯ по криволинейной траектории. Тогда будет справедливо равенство:

Вектор u¯ имеет единичную длину и направлен вдоль касательной линии к траектории. Воспользовавшись таким представлением скорости v¯, получим равенство для полного ускорения:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt.

Полученное в правом равенстве первое слагаемое называется тангенциальным ускорением. Скорость связана с ним тем фактом, что она количественно определяет изменение абсолютного значения величины v¯, не принимая во внимание ее направление.

Второе слагаемое - это нормальное ускорение. Оно количественно описывает изменение вектора скорости, не принимая во внимание изменение ее модуля.

Если обозначить как at и an тангенциальную и нормальную составляющие полного ускорения a, тогда модуль последнего можно вычислить по формуле:

a = √(at2 + an2).

Связь тангенциального ускорения и скорости

Соответствующую связь описывают кинематические выражения. Например, в случае движения по прямой с постоянным ускорением, которое является тангенциальным (нормальная составляющая равна нулю), справедливы выражения:

В случае движения по окружности с постоянным ускорением эти формулы так же справедливы.

Таким образом, какой бы ни была траектория перемещения тела, тангенциальное ускорение через тангенциальную скорость рассчитывается, как производная по времени от ее модуля, то есть:

Например, если скорость изменяется по закону v = 3*t3 + 4*t, тогда at будет равно:

at = dv/dt = 9*t2 + 4.

Скорость и нормальное ускорение

Запишем в явном виде формулу для нормальной компоненты an, имеем:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Где re¯ - единичной длины вектор, который к центру кривизны траектории направлен. Это выражение устанавливает связь тангенциальной скорости и нормального ускорения. Видим, что последнее зависит от модуля v в данный момент времени и от радиуса кривизны r.

Нормальное ускорение появляется всегда, когда изменяется вектор скорости, однако оно равно нулю, если этот вектор сохраняет направление. Говорить о величине an¯ имеет смысл только тогда, когда кривизна траектории является конечной величиной.

Выше мы отмечали, что при движении по прямой линии нормальное ускорение отсутствует. Однако в природе существует тип траектории, при движении по которой an имеет конечную величину, а at = 0 при |v¯| = const. Этой траекторией является окружность. Например, вращение с постоянной частотой металлического вала, карусели или планеты вокруг собственной оси происходит с постоянным нормальным ускорением an и нулевым тангенциальным ускорением at.

Рассмотрим некоторые простейшие виды движения точки, часто встречающиеся в практике.

Равномерным движением точки называется движение ее с постоянной величиной алгебраической скорости или

где С - постоянная интегрирования.

Пусть в начальный момент времени положение точки М на траектории характеризовалось тогда и

Таким образом, при равномерном движении путь, проходимый точкой, линейно зависит от времени.

Равнопеременное движение точки

Равнопеременным движением точки называется такое движение ее, при котором алгебраическая величина тангенциального ускорения остается постоянной:

Если знак а совпадает со знаком скорости, то движение называется равноускоренным. При несовпадении знаков а и движение называется равнозамедленным. Из последнего равенства имеем:

где постоянная интегрирования. Если при то

Таким образом, при равномерном движении скорость линейно зависит от времени. Переписывая последнее равенство в виде:

где -постоянная интегрирования. Определяя из условия, что при находим

Таким образом, при равнопеременном движении путь, проходимый точкой, представляет собой квадратный трехчлен от t.

Круговое движение точки

Движение точки по окружности или круговое движение часто встречается в практике. Пусть точка М движется по окружности радиуса R против хода часовой стрелки (рис. 24). Отсчитывая дугу от некоторого начального положения точки, запишем ее через центральный угол в виде:

Алгебраическая скорость точки будет:

где - называется угловой скоростью точки и обозначается через со, размерность ее .

Используя понятие угловой скорости, запишем:

Отсюда, скорость точки в круговом движении равна произведению радиуса траектории на угловую скорость.

Тангенциальное ускорение точки равно:

где - называется угловым ускорением и обозначается через размерность его ,

Нормальное ускорение точки будет:

Так как оно направлено к центру окружности, то его часто называют центростремительным. Модуль полного ускорения точки равен

При равномерном движении точки по окружности Следовательно, касательное ускорение в этом случае отсутствует и имеется лишь постоянное по величине центростремительное ускорение.

При равнопеременном круговом движении

Физический смысл тангенциального и нормального ускорения точки

Введение понятия равномерного и равнопеременного движения точки позволяет указать физический смысл тангенциального и нормального ускорения точки. Действительно, пусть тангенциальное ускорение всюду равно нулю:

Тогда, если то из последнего равенства имеем:

или движение точки совершается с постоянной по величине скоростью, т. е. точка движется равномерно.

Отсюда можно сделать вывод, что наличие тангенциального ускорения характеризует неравномерность движения точки по траектории. Пусть далее нормальное ускорение равно нулю:

Тогда, если то нормальное ускорение может тождественно равняться нулю только в случае, когда

или траектория точки есть прямая - движение прямолинейное.

Таки образом, отсутствие нормального ускорения в течение некоторого интервала времени свидетельствует о прямолинейности движения. Отсюда можно сделать вывод, что наличие нормального ускорения указывает на кривизну траектории.

Если одновременно тангенциальное и нормальное ускорения равны тождественно нулю, то движение точки будет равномерным и прямолинейным. Если только в отдельный момент времени тангенциальное ускорение равно нулю, то это указывает на то, что на графике функции этому моменту соответствуют экстремумы функции или ее точки перегиба. Если только в отдельный момент времени нормальное ускорение равно нулю, то это указывает на то, что в этот момент скорость движущейся точки равна нулю или радиус кривизны траектории равен бесконечности.

Разложение ускорения a (t) {\displaystyle \mathbf {a} (t)\ \ } на тангенциальное и нормальное a n {\displaystyle \mathbf {a} _{n}} ; ( τ {\displaystyle \mathbf {\tau } } - единичный касательный вектор).

Тангенциа́льное ускоре́ние - компонента ускорения , направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты , характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: a τ {\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }\ \ } или a t {\displaystyle \mathbf {a} _{t}\ \ } , w τ {\displaystyle \mathbf {w} _{\tau }\ \ } , u τ {\displaystyle \mathbf {u} _{\tau }\ \ } и т. д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная - a τ {\displaystyle a_{\tau }\ \ } , обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

  a τ = d v d t , {\displaystyle a_{\tau }={\frac {dv}{dt}},}

  где v = d l / d t {\displaystyle v\ =dl/dt} - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

  Если использовать для единичного касательного вектора обозначение e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }\ } , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

  a τ = d v d t e τ . {\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt}}\mathbf {e} _{\tau }.}

  Вывод

  Вывод 1

  Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости , представленный в виде v = v e τ {\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }} :

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\,\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

  где первое слагаемое - тангенциальное ускорение, а второе - нормальное ускорение .

  Здесь использовано обозначение e n {\displaystyle e_{n}\ } для единичного вектора нормали к траектории и l {\displaystyle l\ } - для текущей длины траектории ( l = l (t) {\displaystyle l=l(t)\ } ); в последнем переходе также использовано очевидное

  d l / d t = v {\displaystyle dl/dt=v\ }

  и, из геометрических соображений,

  d e τ d l = e n R . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}={\frac {\mathbf {e} _{n}}{R}}.}

  Вывод 2

  Если траектория гладкая (что предполагается), то:

  То и другое следует из того, что угол вектора к касательной будет не ниже первого порядка по . Отсюда сразу же следует искомая формула.

  Говоря менее строго, проекция v {\displaystyle \mathbf {v} \ } на касательную при малых d t {\displaystyle dt\ } будет практически совпадать с длиной вектора v {\displaystyle \mathbf {v} \ } , поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых d t {\displaystyle dt\ } всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице .

  Замечания

  Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

  .Тангенциальное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости тела по абсолютному значению, численно равная первой производной от модуля скорости по времени и направленная по касательной к траектории в ту же сторону, что и скорость, если скорость возрастает, и противоположно скорости, если она убывает.

  4

  Нормальное ускорение

  

  .Нормальное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение направления скорости, численно равная отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории, направленная вдоль радиуса кривизны к центру кривизны:

  .

  Т

  

  ак как векторыинаправлены под прямым углом, то (рис. 1. 17)

  , (1.2.9)

  

  

  5.Угловое ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости, численно равная первой производной угловой скорости по времени и направленная вдоль оси вращения в ту же сторону, что и угловая скорость, если скорость возрастает, и противоположно ей, если она убывает.

  Формулу вставить (1.2.10)

  СИ:
  

  Полное ускорение

  (линейное)

  

  

  Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением вращения вокруг неподвижной оси, угловое ускорение не делится на составляющие подобно линейному.

  Угловое ускорение

  

  Связь между угловыми характеристиками

  вращающегося тела и линейными

  характеристиками движения его отдельных точек

  Р

  СИ:
  

  ассмотрим одну из точек вращающегося тела, которая находится от оси вращения на расстоянииR, то есть движется по окружности радиуса R (рис. 1.18).

  По истечении времени
  точка А переместится в положение А 1 , пройдя расстояние
  , радиус-вектор повернется на угол
  . Центральный угол, опирающийся на дугу
  , в радианной мере равен отношению длины дуги к радиусу кривизны этой дуги:

  .

  Это остается справедливым и для бесконечно малого интервала времени
  :
  . Далее, используя определения, легко получить:

  ; (1.2.11)

  Связь между линейными и угловыми характеристиками

  

  
  ; (1.2.12)

  . (1.2.13)

  1.1.2. Классификация движений. Кинематические законы

  Кинематическими законами будем называть законы, выражающие изменение кинематических характеристик движения с течением времени:

  Закон пути
  или
  ;

  Закон скорости
  или
  ;

  Закон ускорения
  или
  .

  Н

  Ускорение

  Ускорение гоночного автомобиля на старте 4-5 м/с 2

  Ускорение реактивного самолета при посадке

  6-8 м/ c 2

  Ускорение свободного падения вблизи поверхности Солнца 274 м/ c 2

  Ускорение снаряда в стволе орудия 10 5 м/ c 2

  аиболее информативной характеристикой движения является ускорение, поэтому оно используется в качестве основания для классификации движений.

  Нормальное ускорение несет информацию об изменении направления скорости, то есть об особенностях траектории движения:

  - движение прямолинейное (направление скорости не меняется);

  - движение криволинейное.

  Тангенциальное ускорение определяет характер изменения модуля скорости с течением времени. По этому признаку принято выделять следующие виды движения:

  - равномерное движение (абсолютное значение скорости не меняется);

  - ускоренное движение

  - неравномер- (скорость возрастает)

  ное движе-
  -замедленное движе

  ние ние (скорость убывает).

  Наиболее простыми частными случаями неравномерного движения являются движения, при которых

  - тангенциальное ускорение не зависит от времени, остается постоянным во время движения – равнопеременное движение (равноускоренное или равнозамедленное);

  или
  - тангенциальное ускорение меняется с течением времени по закону синуса или косинуса – гармоническое колебательное движение (например, грузик на пружине).

  Аналогично для вращательного движения:

  - равномерное вращение;

  - неравномерное вращение

  Типы движения записать более компактно

  -равноускоренное

  вращение

  - замедлен-

  ное вращение;

  - равнопе-

  ременное вращение

  Крутильные колебания (например, трифилярный подвес – диск, подвешенный на трех упругих нитях, и совершающий колебания в горизонтальной плоскости).

  

  

  Если известен один из кинематических законов в аналитической форме, то можно найти другие, при этом возможны два типа задач:

  I тип – по заданному закону пути
  или
  найти закон скорости
  или
  и закон ускорения
  или
  ;

  II тип – по заданному закону ускорения
  или
  найти закон скорости
  или
  и закон пути
  или
  .

  Эти задачи являются взаимно обратными и решаются на основе применения обратных математических операций. Первый тип задач решается на основе определений, то есть путем применения операции дифференцирования.

  
  - задано
  

  - ?
  

  - ?
  .

  Второй тип задач решается путем интегрирования. Если скорость есть первая производная от пути по времени, то путь по отношению к скорости можно найти как первообразную. Аналогично: ускорение есть производная от скорости по времени, тогда скорость по отношению к ускорению – первообразная. Математически эти действия выглядят так:

  - приращение пути за бесконечно малый промежуток времени
  . Для конечного интервала отдоинтегрируем:
  . По правилам интегрирования
  . Чтобы взять интеграл в правой части, нужно знать вид закона скорости, то есть
  . Окончательно, для нахождения положения тела на траектории в произвольный момент времени получаем:

  , где (1.2.14)

  - изменение скорости за бесконечно малый промежуток времени
  .

  Для конечного интервала от до:

  

  Даны основные формулы кинематики материальной точки, их вывод и изложение теории.

  Содержание

  См. также: Пример решения задачи (координатный способ задания движения точки)

  Основные формулы кинематики материальной точки

  Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

  Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz :
  ,
  где - единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

  Скорость точки:
  ;
  .
  .
  Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:
  .

  Ускорение точки:
  ;
  ;
  ;
  ; ;
  

  Тангенциальное (касательное) ускорение:
  ;
  ;
  .

  Нормальное ускорение:
  ;
  ;
  .
  

  Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
  .

  
  .

  Радиус-вектор и траектория точки

  Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

  Радиус-вектор точки M - это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M .
  ,
  где - единичные векторы в направлении осей x, y, z .

  При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений
  (1)
  можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

  Траектория материальной точки - это линия, вдоль которой происходит движение точки.

  Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениями
  
  В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время . Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
  ,
  где - некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

  Скорость материальной точки

  Скорость материальной точки - это производная ее радиус-вектора по времени.

  Согласно определению скорости и определению производной:
  
  Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
  ,
  где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:
  
  ,
  где
  ,
  ,
  
  - проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
  .

  Таким образом
  .
  Модуль скорости:
  .

  Касательная к траектории

  С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
  .
  Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории .

  Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени - в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная - это такая прямая , к которой стремится прямая при .
  Введем обозначения:
  ;
  ;
  .
  Тогда вектор направлен вдоль прямой .
  

  При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор - к скорости точки в момент времени :
  .
  Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .
  То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

  Введем направляющий вектор касательной единичной длины :
  .
  Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
  , то:
  .

  Тогда вектор скорости точки можно представить в виде:
  .

  Ускорение материальной точки

  Ускорение материальной точки - это производная ее скорости по времени.

  Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
  ;
  ;
  ;
  .
  Модуль ускорения:
  .

  Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

  Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
  .
  Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
  .

  Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

  Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
  .
  Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают скалярное произведение векторов. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
  ;
  ;
  .
  Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

  Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
  .
  Вторую компоненту называют нормальным ускорением:
  .
  Тогда полное ускорение:
  (2) .
  Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты - касательную к траектории и перпендикулярную к касательной.

  Поскольку , то
  (3) .

  Тангенциальное (касательное) ускорение

  Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
  .
  Поскольку , то . Тогда
  ;
  .
  Здесь мы положили:
  .
  Отсюда видно, что тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на направление касательной к траектории или, что тоже самое, на направление скорости точки.

  Тангенциальное (касательное) ускорение материальной точки - это проекция ее полного ускорения на направление касательной к траектории (или на направление скорости).

  Символом мы обозначаем вектор тангенциального ускорения, направленный вдоль касательной к траектории. Тогда - это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление касательной. Она может быть как положительной, так и отрицательной.

  Подставив , имеем:
  .

  Подставим в формулу:
  .
  Тогда:
  .
  То есть тангенциальное ускорение равно производной по времени от модуля скорости точки. Таким образом, тангенциальное ускорение приводит к изменению абсолютной величины скорости точки . При увеличении скорости, тангенциальное ускорение положительно (или направлено вдоль скорости). При уменьшении скорости, тангенциальное ускорение отрицательно (или направлено противоположно скорости).

  Теперь исследуем вектор .

  

  Рассмотрим единичный вектор касательной к траектории . Поместим его начало в начало системы координат. Тогда конец вектора будет находиться на сфере единичного радиуса. При движении материальной точки, конец вектора будет перемещаться по этой сфере. То есть он будет вращаться вокруг своего начала. Пусть - мгновенная угловая скорость вращения вектора в момент времени . Тогда его производная - это скорость движения конца вектора. Она направлена перпендикулярно вектору . Применим формулу для вращающегося движения. Модуль вектора:
  .

  Теперь рассмотрим положение точки для двух близких моментов времени. Пусть в момент времени точка находится в положении , а в момент времени - в положении . Пусть и - единичные векторы, направленные по касательной к траектории в этих точках. Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пусть - это прямая, образованная пересечением этих плоскостей. Из точки опустим перпендикуляр на прямую . Если положения точек и достаточно близки, то движение точки можно рассматривать как вращение по окружности радиуса вокруг оси , которая будет мгновенной осью вращения материальной точки. Поскольку векторы и перпендикулярны плоскостям и , то угол между этими плоскостями равен углу между векторами и . Тогда мгновенная скорость вращения точки вокруг оси равна мгновенной скорости вращения вектора :
  .
  Здесь - расстояние между точками и .

  Таким образом мы нашли модуль производной по времени вектора :
  .
  Как мы указали ранее, вектор перпендикулярен вектору . Из приведенных рассуждений видно, что он направлен в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Такое направление называется главной нормалью.

  Нормальное ускорение

  Нормальное ускорение
  
  направлено вдоль вектора . Как мы выяснили, этот вектор направлен перпендикулярно касательной, в сторону мгновенного центра кривизны траектории.
  Пусть - единичный вектор, направленный от материальной точки к мгновенному центру кривизны траектории (вдоль главной нормали). Тогда
  ;
  .
  Поскольку оба вектора и имеют одинаковое направление - к центру кривизны траектории, то
  .

  Из формулы (2) имеем:
  (4) .
  Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:
  .
  

  Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
  (2) .
  .
  Поскольку , то . Тогда
  ;
  .
  Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

  Нормальное ускорение материальной точки - это проекция ее полного ускорения на направление, перпендикулярное к касательной к траектории.

  Подставим . Тогда
  .
  То есть нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории .

  Отсюда можно найти радиус кривизны траектории:
  .

  И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
  .
  Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
  ,
  в которую подставили
  .

  Итак, мы получили:
  ;
  .
  Приравняем модули левой и правой частей:
  .
  Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
  .
  Тогда
  .
  Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

  См. также: