Метод монте карло закон больших чисел. Использование метода монте-карло для расчета риска. методом Монте – Карло

Другим методом оценки или анализа чувствительности на основе компьютерной имитации является метод Монте-Карло, под которым понимают определенный метод решения некоторого класса экономических или математических задач, в которых те или иные параметры, в нашем случае факторы риска, моделируются в форме случайных величин. Этот метод основан на компьютерной имитации распределений этих случайных величин и формировании соответствующих оценочных показателей проектов на основе этих распределений. Он представляет собой имитационный метод анализа устойчивости, который исторически получил свое название по названию города, в котором располагаются известные игорные дома и казино. Термин "моделирование по методу Монте-Карло" был предложен американскими учеными С. Уламом и Дж. фон Нейманом в процессе работы в рамках известного Манхэттенского проекта. Первая статья по этой проблематике была написана в 1949 г. .

С одной стороны, метод Монте-Карло представляет собой определенную модификацию рассмотренного выше дискретного анализа чувствительности, поскольку речь идет об оценке влияния изменения параметров денежного потока на чистую настоящую стоимость и другие критерии оценки инвестиционных проектов. С другой - основное отличие от дискретного метода состоит в том, что в процессе применения метода Монте-Карло формируется некоторое распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, ставки внутреннего процента, индекса доходности и других показателей, которое определяется в зависимости от имитируемых случайных распределений выбранных факторов риска. Это позволяет получать определенные оценки этого распределения в форме дисперсии, стандартного отклонения или коэффициента вариации по чистой настоящей стоимости или иному результирующему показателю, анализ которых позволяет сделать выводы об устойчивости будущих условий исполнения проекта, возможностях получения благоприятных или неблагоприятных результатов. Рассматриваемый метод основан на имитационном моделировании на компьютере случайных распределений выбранных параметров денежного потока - факторов риска, на базе которых формируется распределение показателей оценки рассматриваемого проекта .

При проведении расчетов по методу Монте-Карло предполагается, что известны значения всех параметров, определяющих величину отдельных компонентов денежного потока инвестиционного проекта. Для тех параметров, которые рассматриваются в качестве факторов риска, исходное значение принимается в качестве ожидаемого при моделировании случайного распределения этого фактора на ЭВМ.

Организационно метод Монте-Карло как метод имитационного компьютерного моделирования можно описать такой последовательностью основных этапов.

Определение основных показателей оценки инвестиционного проекта , по отношению к которым будет измеряться влияние факторов риска. К числу таких показателей могут быть отнесены: чистая настоящая стоимость проекта, ставка внутреннего процента, индекс доходности, период окупаемости или другие по желанию инвестора, предполагающего осуществить рассматриваемый проект.

Выделение параметров , рассматриваемых как факторы риска , которые будут моделироваться в форме случайных величин. Для их численной реализации предполагается проводить компьютерное моделирование на основе генераторов псевдослучайных чисел, встроенных в пакет Microsoft Excel, на основе заранее выбранной формы распределения. Для анализа выделяют те компоненты денежного потока, которые, но мнению инвестора, менеджера или эксперта в соответствующей области, оказывают наиболее сильное влияние на изменение выделенного показателя проекта, т.е. являются наиболее существенными факторами риска. В принципе можно рассмотреть, как случайные все параметры всех компонентов денежного потока, но это связано с тремя проблемами. Во-первых, увеличение числа выделенных случайных параметров может привести к противоречивым результатам вследствие коррелированное™ рассматриваемых реализаций случайных величин; во-вторых, это может потребовать больше времени для анализа полученных результатов и обоснования влияния отдельных факторов; в-третьих, останется невыявленным, какие именно факторы повлияли на результаты.

Выбор формы распределения случайных величин , на основе которых будет проведена компьютерная имитация их численной реализации. Он осуществляется на основе некоторых представлений о распределениях рассматриваемых показателей. В числе подобных распределений можно отметить: нормальное, логнормальное (чаще используется при моделировании параметров финансовых рынков), треугольное, равномерное и др. Нормальное, треугольное и равномерное распределения являются симметричными, и их использование опирается на предположение о симметричном распределении будущих результатов, хотя и с различной плотностью заполнения. Логнормальное распределение не является симметричным, и его применение опирается на предпосылку о том, что большая часть значений случайной величины сдвинута в определенную сторону относительно ожидаемого значения.

В данной книге при проведении экспериментальных расчетов по методу Монте-Карло при моделировании случайных величин - выбранных параметров денежного потока - используется нормальное распределение .

Имитационное моделирование случайных величин - выбранных параметров денежного потока. Для моделирования численной реализации соответствующей случайной величины используют встроенный генератор псевдослучайных чисел в опции "Анализ данных" меню "Сервис" пакета Microsoft Excel. В этом случае должно быть заранее задано ожидаемое значение рассматриваемого параметра и его стандартное отклонение, а также количество численных реализаций случайных величин, которые должны быть получены в течение одного цикла имитационных расчетов. Для подобных расчетов можно также применять специальные пакеты прикладных программ.

Если моделируется несколько случайных величии одновременно, то необходимо проверить отсутствие корреляции между каждой парой полученных их численных реализаций. Возможности использования при этом критериев проверки статистических гипотез поясним ниже.

Учитывая каждую полученную реализацию рассматриваемой случайной величины, а также параметры денежных потоков, которые предполагаются фиксированными, выполняются расчеты денежных потоков для каждой полученной реализации указанных случайных величин. Количество денежных потоков совпадает с выбранным числом реализаций этих величин. На основе этих денежных потоков происходит формирование распределения чистой настоящей стоимости проекта или других оценочных показателей рассматриваемого проекта в каждом цикле имитационных расчетов.

Определение характеристик распределения чистой настоящей стоимости проекта , полученного в результате одного цикла имитационных расчетов, в том числе ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта, дисперсии и стандартного отклонения, и других показателей полученного распределения данного показателя. К их числу можно отнести наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стоимости, коэффициент вариации как дополнительную характеристику распределения, вероятность реализации отрицательного значения чистой настоящей стоимости, т.е. невыгодного для инвестора результата исполнения проекта. В последнем случае указанная вероятность определяется как отношение числа отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученном распределении к общему количеству выполненных экспериментов в рамках одного цикла имитационных расчетов:

где k - число отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученной в процессе имитации выборке; т - количество проведенных имитационных экспериментов. Подобная оценка вероятности неблагоприятных исходов опирается на предположение о том, что вероятность каждого исхода в процессе одного цикла имитационного моделирования одинакова и составляет р = 1 /т. Аналогичные расчеты могут быть выполнены и для ставки внутреннего процента, индекса доходности, периода окупаемости.

При проведении расчетов можно использовать встроенные статистические функции пакета Microsoft Excel (табл. 5.12), которые задаются на распределении NPV или с помощью другого расчетного показателя, полученного в результате одного цикла имитационных расчетов.

Таблица 5.12

Используемые встроенные функции пакета Microsoft Excel

Последовательное многократное повторение циклов имитационных расчетов , выполняемых по этапам 4 и 5, предполагающее последовательное формирование распределений значений чистой настоящей стоимости, а также соответствующих им наборов значений оценочных показателей, представленных на этапе 5.

Для проверки устойчивости полученных характеристик распределения чистой настоящей стоимости и повышения качества обоснованности выводов должно быть выполнено нескольких сот или тысяч циклов итерационных расчетов в режиме имитации.

Анализ основных результатов. Результаты применения метода Монте-Карло для анализа и оценки устойчивости проекта к выделенным факторам риска могут быть представлены в двух формах. Прежде всего речь может идти об анализе полученных в результате имитационных расчетов количественных значений показателей, характеризующих параметры полученного распределения чистой настоящей стоимости проекта или других оценочных показателей. К числу таких показателей можно отнести: ожидаемое значение чистой настоящей стоимости; дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации как меры риска; наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стоимости по полученной выборке; вероятность получения отрицательного значения чистой настоящей стоимости проекта. В процессе многократного повторения цикла имитационных расчетов можно построить среднее по данной выборке значение для каждого указанного показателя, рассматривая их как определенные ожидаемые характеристики воздействия факторов риска на условия исполнения данного инвестиционного проекта.

Анализ распределения значений указанных показателей, полученных в результате достаточно большого числа итераций, позволяет сделать определенные выводы об относительной устойчивости чистой настоящей стоимости проекта, ожидаемого значения и стандартного отклонения получаемого распределения NPV, вероятности получения отрицательного значения NPV проекта при условии изменения выделенных случайных величин в соответствии с выбранной формой их распределения. Эту устойчивость можно оценить визуально, построив графики выборочных значений указанных показателей, или с помощью соответствующих статистических оценок, определяемых на основе полученной выборки соответствующего показателя. Аналогичный анализ может быть выполнен и в том случае, если используются другие критерии оценки проекта.

Рис. 5.4.

Другой формой результата компьютерной имитации или исследований по методу Монте-Карло могут быть различные графики. Речь идет о частотных гистограммах значений чистой настоящей стоимости, которые формируются в зависимости от частоты попадания имитируемых значений чистой настоящей стоимости в выделенные интервалы или группы ее значений, а также о графиках распределения вероятности отрицательного значения чистой настоящей стоимости или других оценочных показателей .

Общая последовательность расчетов по методу Монте-Карло представлена на рис. 5.4. Соответствующие расчеты могут быть выполнены только на ЭВМ при использовании встроенных возможностей пакета Microsoft Excel или иных пакетов прикладных программ.

Покажем возможности реализации метода Монте-Карло и особенности анализа полученных результатов на основе следующего условного примера. Все исходные данные по рассматриваемому проекту приведены в табл. 5.13.

Таблица 5.13

Исходные данные по проекту

Показатель
Коэффициент использования мощностей, %
Ожидаемая цена реализации, руб.
Стандартное отклонение цены реализации, руб.
Инвестиции, руб.
Условно-постоянные расходы, руб/год
Условно-переменные расходы, руб/сд. ирод.
Стандартное отклонение условно-переменных расходов

Выделим параметры и сформируем исходный денежный поток данного инвестиционного проекта. Расчеты компонентов денежного потока выполнены по формулам

где k t - коэффициент использования производственной мощности в году t, M t - производственная мощность предприятия в году t, p t - цена продукции в период t; h f - норма условно-переменных расходов в году t; H f - условно-постоянные расходы в период t,t= 1, 2,..., T; T - период исполнения проекта.

Результаты расчета исходного денежного потока по формулам (5.10) приведены в табл. 5.14.

В данном примере рассматривается компьютерное моделирование двух факторов риска: цены продукции во втором году и условно-переменных расходов в третьем году. Имитационное моделирование осуществляется на основе предположения о нормальном распределении обоих факторов.

Таблица 5.14

Параметры и денежный поток инвестиционного проекта

	Инвестиции		Коэффициент использования мощностей, %	Максимальный объем выпуска, ед. изд.	Ожидаемая пеалнзанмн.		постоянные	Условно- переменные расходы, руб/ед. ирод.	Денежный
			-

Для цены второго года в качестве ожидаемого или среднего значения выбирается 30 руб. (см. табл. 5.13), а стандартное отклонение полагается равным 2. Для условно-переменных расходов третьего года, соответственно, ожидаемое значение равно 16 руб. (см. табл. 5.13), а стандартное отклонение было выбрано равным 1. Оценка стандартного отклонения может быть получена на основе представлений о возможных интервалах колебаний соответствующего показателя. Так, если ожидаемое колебание цены реализации второго года составляет 6 руб. в обе стороны от ожидаемого значения, то, учитывая, что в условиях нормального распределения практически почти весь интервал составляет ±3а, приблизительная оценка стандартного отклонения в данном случае равна 6/3 = 2 руб. Аналогично могут быть получены и другие значения стандартного отклонения, приведенные в табл. 5.13.

При компьютерном моделировании случайной реализации обоих выбранных показателей были использованы встроенные возможности пакета Microsoft Excel по генерации псевдослучайных величин на основе нормального распределения. Каждый цикл имитационных расчетов включал в себя 100 итераций. Результаты одного цикла расчетов обоих случайных величин приведены в табл. 5.15.

Прежде чем выполнять дальнейшие расчеты, необходимо проверить гипотезу об отсутствии корреляции между обеими случайными величинами, распределения которых приведены в табл. 5.15. Для этого, используя встроенную функцию "КОРРЕЛ" пакета Microsoft Excel, рассчитаем выборочный коэффициент парной корреляции, значение которого составит r ph = -0,10906, т.е. почти равно нулю. Для формальной проверки гипотезы

Таблица 5.15

Имитация распределения случайных величин, руб.

І Іомер итерации	Цена второго года, руб.	Условно-переменные расходы третьего года, руб/ед. прод.
	Среднее значение - 30	Среднее значение -16
	Стандартное отклонение - 2	Стандартное отклонение - 1

об отсутствии корреляции между рассматриваемыми случайными величинами необходимо построить статистику

где п - объем выборки, т.е. число итераций в одном цикле имитационных расчетов, и сопоставить ее со статистикой t a (n - 2), имеющей распределение Стъюдента сп - 2 степенями свободы и доверительный уровень а. Учитывая указанное значение выборочного коэффициента корреляции и объем выборки п = 100, в данном случае получим:

что по модулю меньше соответствующего табличного значения квантиля распределения Стьюдента с 98 степенями свободы и доверительным уровнем 0,95, которое составляет 1,984. Это позволяет принять гипотезу Н {) с вероятностью ошибки первого рода, равной 0,05.

Используя полученные численные реализации цены второго года и условно-переменных расходов третьего года (см. табл. 5.15), а также заданные значения остальных параметров денежного потока (см. табл. 5.14), формируются денежные потоки инвестиционного проекта, соответствующие полученным значениям цен на каждой итерации. Расчеты выполнены по формулам (5.10). Всего сформировано 100 денежных потоков. Результаты расчетов приведены в табл. 5.16.

Таблица 5.16

итерации

Используя полученные значения денежных потоков, проведем расчеты чистой настоящей стоимости проекта по формуле

Была использована ставка расчетного процента, равная 12%. Эти расчеты выполнены в пакете Microsoft Excel с помощью встроенной финансовой функции "ЧПС", используемой для вычисления значений чистой настоящей стоимости. Результаты расчетов приведены в табл. 5.17.

Таблица 5.17

Варианты денежного потока рассматриваемого проекта в рамках одного цикла имитационных расчетов, руб.

Номер итерации	Чистая настоящая стоимость	Номер итерации	Чистая настоящая стоимость

Используя полученное распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, можно определить основные характеристики, отражающие степень влияния факторов риска на чистую настоящую стоимость этого проекта. Построим частотную гистограмму значений чистой настоящей стоимости. Для этого все полученные на 100 итерациях значения чистой настоящей стоимости проекта подразделим на группы следующим образом. В первую группу включим те значения чистой настоящей стоимости, которые не превосходят -20 000 руб., а далее с шагом 10 000 руб. сформируем еще семь групп значений чистой настоящей стоимости, со 2-й но 8-ю, причем в последнюю группу включим те значения чистой настоящей стоимости, которые превышают 50 000 руб., и определим количество значений чистой настоящей стоимости, попавшей в каждую выделенную группу (табл. 5.18).

Распределение полученных значений чистой настоящей стоимости по группам, которые указаны в табл. 5.18, можно представить на следующей частотной гистограмме (рис. 5.5). Эта гистограмма показывает, что наибольшее количество полученных значений NPV располагается в интервале от -10 000 до 30 000. Она дает также определенное представление о возможных отрицательных значениях чистой настоящей стоимости, которые в данном примере попали в 1 -ю, 2-ю и 3-ю группы. При этом большая часть

Таблица 5.18

Группировка расчетных значений чистой настоящей стоимости

Рис. 55.

расчетных величин NPV рас полагается в области положительных значений. Конкретные значения частот попадания в каждый интервал зависят от полученного распределения выделенных случайных переменных, в нашем примере цен реализации второго года и условно-переменных расходов третьего, которые и рассматриваются как факторы риска. Полученный результат существенно зависит от предположения о нормальном распределении указанных выше факторов.

Метод Монте-Карло позволяет проанализировать влияние факторов риска - выбранных параметров проекта - на изучаемые показатели его оценки. В нашем примере в качестве такого показателя рассматривается чистая настоящая стоимость. Результаты расчетов шести показателей, характеризующих распределения NPV, построенные последовательно на каждом из выполненных 10 циклов имитационных расчетов, приведены в табл. 5.19.

Все они выполнены при одинаковом предположении нормального распределения рассматриваемых случайных переменных и сохранении их характеристик - среднего или ожидаемого значения и стандартного отклонения. В качестве факторов риска в процессе выполненных экспериментальных расчетов в данном примере были выбраны цены второго года и условно-переменные расходы третьего года; для каждого из этих факторов параметры распределения сохранялись одинаковыми во всех 10 циклах имитационных расчетов. В принципе можно проводить имитационные расчеты по методу Монте- Карло с переменным стандартным отклонением. В этом случае большую сложность представляет анализ устойчивости полученных результатов.

Проанализируем подробнее результаты расчетов, которые приведены в табл. 5.19. При этом показатели для 1-го цикла имитационных расчетов были определены на основе распределения NPV, представленного в табл. 5.17.

Таблица 5.19

Характеристики распределений NPV, полученных в режиме имитации, руб.

Показатель	Цикл имитационных расчетов
Ожидаемое значение NPV
Стандартное отклонение NPV
Коэффициент вариации
Вероятность отрицательного значения NPV
Наибольшее значение NPV
Наименьшее значение NPV

Во-первых, ожидаемое значение NPV во всех 10 циклах имитационных расчетов оказалось положительным, большая часть полученных значений NPV для каждого распределения сдвинута в положительную область.

Во-вторых, стандартное отклонение для каждого распределения NPV, полученного в режиме имитации, больше ожидаемого значения NPV. Указанное соотношение отражает и значение коэффициента вариации, которое больше единицы для всех циклов имитационных расчетов и позволяет сделать вывод о возможности реализации отрицательного значения NPV в процессе исполнения данного проекта.

В-третьих, этот вывод подтверждают полученные оценки вероятности отрицательного значения NPV проекта, которое определяется в соответствии с формулой (5.9) как отношение числа полученных отрицательных значений чистой настоящей стоимости на данном цикле имитационных расчетов к общему числу итераций, которое равно 100. Для всех проведенных циклов имитационных расчетов эта вероятность составляет примерно 30%.

В-четвертых, максимальные и минимальные значения NPV проекта дают представление о возможном интервале колебаний или разброса значений NPV проекта. Указанные данные еще раз подтверждают, что стандартное отклонение характеризует лишь часть интервала колебаний значения чистой настоящей стоимости проекта, определенного в результате имитационных расчетов.

В-пятых, представленные в табл. 5.19 данные позволяют сделать выводы об устойчивости полученных на каждом цикле имитационных расчетов характеристик распределений NPV, что собственно и дает возможность интерпретировать полученные средние оценки эмпирических результатов как соответствующие условиям исполнения проекта. Эту устойчивость можно проверять различными способами.

1. Можно использовать визуальную оценку распределения результатов, представленных в табл. 5.19. Так, на рис. 5.6 приведено распределение вероятности отрицательного значения NPV r полученное в 10 циклах имитационных расчетов.

При анализе графика, приведенного на рис. 5.6, очевидно, что полученный интервал колебаний этой вероятности достаточно узок. Если использовать максимальное и минимальное значения этой вероятности, то можно показать, что отклонения от среднего значения этой вероятности по данной выборке, которое равно 0,31, составляет примерно 13% в обе стороны.

Рис. 5.6. Вероятность отрицательного значения NPV по циклам имитации

Аналогично можно выделить интервал колебания ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта. Как показывают данные табл. 5.19, во всех циклах имитационных расчетов ожидаемая NPV имела положительное значение, хотя и была подвержена определенным колебаниям. График, приведенный на рис. 5.7, показывает, как возможные тенденции изменения указанного показателя, так и интервал колебаний его значения по выполненным циклам имитационных расчетов.

Рис. 5.7. Ожидаемое значение NPV по циклам имитации

Если учесть, что среднее по выборке значение ожидаемой чистой настоящей стоимости - 6332,38 руб., то можно показать, что интервал колебаний расчетных значений составляет примерно 24% в обе стороны от среднего значения. Полученные оценки весьма зависят от числа выполненных циклов имитационных расчетов и, естественно, будут меняться при проведении последующих циклов. Относительная надежность подобных оценок возрастает по мере роста числа циклов имитационных расчетов и расширения объема выборки, представленной в табл. 5.19. Аналогичный анализ может быть выполнен и для других показателей, определяемых в каждом цикле имитационных расчетов (см. табл. 5.19).

2. При существенном увеличении количества циклов имитационных расчетов и расширении выборки полученных результатов можно использовать формальные критерии проверки гипотез и на их основе формировать выводы об устойчивости полученных результатов и конкретных значений тех или иных расчетных параметров. Проверка статистических гипотез основана на формировании проверочных статистик, которые определяются с учетом выборки рассматриваемого показателя, а также предположения о том, что проверочная статистика имеет заданное распределение. Выше при проверке гипотезы о равенстве нулю коэффициента парной корреляции рассматривалась так называемая простая гипотеза в предположении, что проверочная статистика имела распределение Стъюдента с п - 2 степенями свободы. Особенность проверки статистических гипотез состоит в том, что они принимаются с определенным уровнем доверия. Результаты соответствующего теста могут содержать ошибки первого рода, когда гипотеза отвергается, если она верна, и ошибки второго рода, когда гипотеза принимается в том случае, если она неверна или верна альтернативная гипотеза , т.е. получаемый в процессе подобного тестирования ответ не носит абсолютного характера.

Принятие решения об исполнении или неисполнении инвестиционного проекта на основе данных, полученных по методу Монте-Карло, прежде всего предполагает анализ полученных распределений значений чистой настоящей стоимости проекта, который можно проводить на основе гистограммы, аналогичной показанной на рис. 5.5. Подобная гистограмма может быть также построена для среднего по всем реализациям распределения NPV.

Если все значения распределения NPV на каждом цикле имитационных расчетов оказываются положительными, то проект можно рекомендовать к исполнению, в противном случае, если все значения распределения NPV проекта отрицательны на каждом цикле имитационных расчетов, проект не рекомендуется к исполнению. Во всех других случаях необходимо сопоставлять шансы на получение положительного и отрицательного значений NPV. Для гистограммы, представленной на рис. 5.5, можно отметить, что положительные значения NPV достигаются для групп с 4-й по 8-ю. Учитывая данные табл. 5.18, можно отметить, что по данной выборке 65% значений NPV положительны и только 35% отрицательны. Аналогичный анализ можно выполнить и по среднему значению распределения по всем циклам имитационных расчетов.

В литературе, посвященной проблемам оценки инвестиционных проектов по методу Монте-Карло, предлагается рассчитать еще некоторые показатели по выборке NPV при предположении, что результаты на каждой итерации в течение одного цикла имитационных расчетов имеют одинаковую вероятность р= 1 /п. Именно на основе данного подхода рассчитаны значения ожидаемой NPV в табл. 5.19. Предлагается по такой же схеме определять "ожидаемый выигрыш" по положительным значениям NPV в полученной выборке и "ожидаемый проигрыш" - по отрицательным значениям NPV в этой выборке .

Учитывая, что NPV - это критерий выбора проекта, а не содержательная оценка его полезных результатов, требуется дополнительная содержательная интерпретация указанных показателей "выигрышей" и "проигрышей". Однако в том случае, когда в качестве итогового моделируемого показателя рассматривается доход за определенный период, по полученной в результате имитации выборке можно строить оценки среднего положительного дохода или убытка.

Принятие инвестиционного проекта к исполнению или нет зависит от сформированных в результате имитации распределений значений NPV и полученных характеристик этого распределения. Характеристики распределения NPV (см. табл. 5.19) меняются при каждом цикле имитационных расчетов. Поэтому особое значение приобретает анализ устойчивости установленных путем имитационных расчетов результатов, который позволяет получить дополнительную информацию для принятия решения. Речь идет не столько о том, каковы конкретные значения получаемых результатов, сколько о том, насколько они устойчивы и не будут ли они сильно меняться под фактическим воздействием выделенных факторов риска. Результаты этого анализа носят относительный характер как в случае, когда этот анализ выполняется визуально, так и если говорят об оценке основных критериев проверки статистических гипотез. Поэтому для лица, принимающего решение, существенно, соответствуют ли полученные интервалы колебания характеристик распределения его представлениям о будущих колебаниях соответствующего показателя или удовлетворяет ли его доверительный уровень выполнения соответствующей гипотезы.

Окончательное решение менеджера об исполнении или неисполнении рассматриваемого проекта принимается на основе всей указанной выше информации с учетом его склонности или несклонности к риску, которая находит свое отражение в том, считает ли это лицо для себя возможным реализацию проекта с полученными характеристиками распределения NPV и существуют ли у него те или иные возможности управления рисками данного проекта в том случае, если его развитие пойдет по неблагоприятному пути. Формальные критерии выбора решения на основе информации, получаемой в процессе моделирования по методу Монте-Карло, в настоящее время не разработаны, что относят к одному из основных недостатков данного метода оценки и обоснования инвестиционных проектов в условиях риска.

При использовании метода Монте-Карло следует иметь в виду, что в процессе его реализации речь идет об оценке общей устойчивости проекта к изменению выделенных факторов риска (в нашем примере - цены и условно-переменных расходов). Это связано с тем, что данный метод, как и дискретный анализ чувствительности, основан не на использовании возможных будущих изменений выделенного внешнего фактора риска, например, цен, на соответствующем рынке, а опирается на компьютерную имитацию распределений выделенных факторов риска. Результаты существенно зависят от объема полученной выборки оценочных показателей, при этом их конкретные значения могут существенно изменяться от циклу к циклу имитационных расчетов. В этом также состоят недостатки метода Монте- Карло как имитационного метода анализа риска проектов долгосрочных инвестиций.

Иногда разделяют сумму инвестиций в проект и расходы по будущему бизнесу, которые возникают до завершения строительства и запуска в эксплуатацию, например, в форме расходов на отопление, освещение, управленческие расходы, ото и учитывает параметр H₀.

Подробнее о проверке гипотез см.: Магнус Я. Р.. Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 1997. С. 219-221.

Риск-менеджмент инвестиционного проекта: учебник / под ред. М. В. Грачевой, Л. Б. Сикерина. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. С. 169-170.

Не так давно я прочитал замечательную книгу Дугласа Хаббарда . В кратком конспекте книги я обещал, что одному из разделов – Оценка риска: введение в моделирование методом Монте-Карло – я посвящу отдельную заметку. Да всё как-то не складывалось. И вот недавно я стал более внимательно изучать методы управления валютными рисками. В материалах, посвященных этой тематике, часто упоминается моделирование методом Монте-Карло. Так что обещанный материал перед вами.

Приведу простой пример моделирования методом Монте-Карло для тех, кто никогда не работал с ним ранее, но имеет определенное представление об использовании электронных таблиц Excel.

Предположим, что вы хотите арендовать новый станок. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать на несколько лет. Поэтому, даже не достигнув , вы всё равно не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также считаете, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.

Скачать заметку в формате , примеры в формате

Ваши калиброванные специалисты по оценке дали следующие интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства:

Годовая экономия составит: (MS + LS + RMS) х PL

Конечно, этот пример слишком прост, чтобы быть реалистичным. Объем производства каждый год меняется, какие-то затраты снизятся, когда рабочие окончательно освоят новый станок, и т.д. Но мы в этом примере намеренно пожертвовали реализмом ради простоты.

Если мы возьмем медиану (среднее) каждого из интервалов значений, то получим годовую экономию: (15 + 3 + 6) х 25 000 = 600 000 (дол.)

Похоже, что мы не только добились безубыточности, но и получили кое-какую прибыль, но не забывайте – существуют неопределенности. Как же оценить рискованность этих инвестиций? Давайте, прежде всего, определим, что такое риск в данном контексте. Чтобы получить риск, мы должны наметить будущие результаты с присущими им неопределенностями, причем какие-то из них – с вероятностью понести ущерб, поддающийся количественному определению. Один из способов взглянуть на риск – представить вероятность того, что мы не добьемся безубыточности, то есть что наша экономия окажется меньше годовой стоимости аренды станка. Чем больше нам не хватит на покрытие расходов на аренду, тем больше мы потеряем. Сумма 600 000 дол. – это медиана интервала. Как определить реальный интервал значений и рассчитать по нему вероятность того, что мы не достигнем точки безубыточности?

Поскольку точные данные отсутствуют, нельзя выполнить простые расчеты для ответа на вопрос, сможем ли мы добиться требуемой экономии. Есть методы, позволяющие при определенных условиях найти интервал значений результирующего параметра по диапазонам значений исходных данных, но для большинства проблем из реальной жизни такие условия, как правило, не существуют. Как только мы начинаем суммировать и умножать разные типы распределений, задача обычно превращается в то, что математики называют неразрешимой или не имеющей решения обычными математическими методами проблемой. Поэтому взамен мы пользуемся методом прямого подбора возможных вариантов, ставшим возможным благодаря появлению компьютеров. Из имеющихся интервалов мы выбираем наугад множество (тысячи) точных значений исходных параметров и рассчитываем множество точных значений искомого показателя.

Моделирование методом Монте-Карло – превосходный способ решения подобных проблем. Мы должны лишь случайным образом выбрать в указанных интервалах значения, подставить их в формулу для расчета годовой экономии и рассчитать итог. Одни результаты превысят рассчитанную нами медиану 600 000 дол., а другие окажутся ниже. Некоторые будут даже ниже требуемых для безубыточности 400 000 дол.

Вы легко сможете осуществить моделирование методом Монте-Карло на персональном компьютере с помощью программы Excel, но для этого понадобится чуть больше информации, чем 90%-ный доверительный интервал. Необходимо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. В случае 90%-ного доверительного интервала обычно используется кривая нормального (гауссова) распределения. Это хорошо знакомая всем колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (рис. 1).

Вот как выглядит нормальное распределение:

Рис.1. Нормальное распределение. По оси абсцисс число сигм.

Особенности:

• значения, располагающиеся в центральной части графика, более вероятны, чем значения по его краям;
• распределение симметрично; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами 90%-ного доверительного интервала (CI);
• «хвосты» графика бесконечны; значения за пределами 90%-ного доверительного интервала маловероятны, но все же возможны.

Для построения нормального распределения в Excel можно воспользоваться функцией =НОРМРАСП(Х; Среднее; Стандартное_откл; Интегральная), где
Х – значение, для которого строится нормальное распределение;
Среднее – среднее арифметическое распределения; в нашем случае = 0;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; в нашем случае = 1;
Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции; если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения; в нашем случае = ЛОЖЬ.

Говоря о нормальном распределении, необходимо упомянуть о таком связанном с ним понятии, как стандартное отклонение. Очевидно, не все обладают интуитивным пониманием, что это такое, но поскольку стандартное отклонение можно заменить числом, рассчитанным по 90%-ному доверительному интервалу (смысл которого интуитивно понимают многие), я не буду здесь подробно на нем останавливаться. Рисунок 1 показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения, поэтому нам просто нужно будет сделать преобразование.

В нашем случае следует создать в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений. Начнем, например, с MS – экономии на материально-техническом обслуживании. Воспользуемся формулой Excel: =НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл), где
Вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;
Среднее – среднее арифметическое распределения;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.

В нашем случае:
Среднее (медиана) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного СI)/2;
Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3,29.

Для параметра MS формула имеет вид: =НОРМОБР(СЛЧИС();15;(20-10)/3,29), где
СЛЧИС – функция, генерирующая случайные числа в диапазоне от 0 до 1;
15 – среднее арифметическое диапазона MS;
(20-10)/3,29 = 3,04 – стандартное отклонение; напомню, что смысл стандартного отклонения в следующем: в интервал 3,29*Стандарт_откл, расположенный симметрично относительного среднего, попадает 90% всех значений случайной величины (в нашем случае MS)

Распределение величины экономии на материально-техническом обслуживании для 100 случайных нормально распределенных значений:

Рис. 2. Вероятность распределения MS по диапазонам значений; о том, как построить такое распределение с помощью сводной таблицы см.

Поскольку мы использовали «лишь» 100 случайных значений, распределение получилось не таким уж и симметричным. Тем не менее, около 90% значений попали в диапазон экономии на MS от 10 до 20 долл. (если быть точным, то 91%).

Построим таблицу на основе доверительных интервалов параметров MS, LS, RMS и PL (рис. 3). Два последних столбца показывают результаты расчетов на основе данных других столбцов. В столбце «Общая экономия» показана годовая экономия, рассчитанная для каждой строки. Например, в случае реализации сценария 1 общая экономия составит (14,3 + 5,8 + 4,3) х 23 471 = 570 834 долл. Столбец «Достигается ли безубыточность?» вам на самом деле не нужен. Я включил его просто для информативности. Создадим в Excel 10 000 строк-сценариев.

Рис. 3. Расчет сценариев методом Монте-Карло в Excel

Чтобы оценить полученные результаты, можно использовать, например, сводную таблицу, которая позволяет подсчитать число сценариев в каждом 100-тысячном диапазоне. Затем вы строите график, отображающий результаты расчета (рис. 4). Этот график показывает, какая доля из 10 000 сценариев будут иметь годовую экономию в том или ином интервале значений. Например, около 3% сценариев дадут годовую экономию более 1М дол.

Рис. 4. Распределение общей экономии по диапазонам значений. По оси абсцисс отложены 100-тысячные диапазоны размера экономии, а по оси ординат доля сценариев, приходящихся на указанный диапазон

Из всех полученных значений годовой экономии примерно 15% будут меньше 400К дол. Это означает, что вероятность ущерба составляет 15%. Данное число и представляет содержательную оценку риска. Но риск не всегда сводится к возможности отрицательной доходности инвестиций. Оценивая размеры вещи, мы определяем ее высоту, массу, обхват и т.д. Точно так же существуют и несколько полезных показателей риска. Дальнейший анализ показывает: есть 4%-ная вероятность того, что завод вместо экономии будет терять ежегодно по 100К дол. Однако полное отсутствие доходов практически исключено. Вот что подразумевается под анализом риска – мы должны уметь рассчитывать вероятности ущерба разного масштаба. Если вы действительно измеряете риск, то должны делать именно это.

В некоторых ситуациях можно пойти более коротким путем. Если все распределения значений, с которыми мы работаем, будут нормальными и нам надо просто сложить интервалы этих значений (например, интервалы затрат и выгод) или вычесть их друг из друга, то можно обойтись и без моделирования методом Монте-Карло. Когда необходимо суммировать три вида экономии из нашего примера, следует провести простой расчет. Чтобы получить искомый интервал, используйте шесть шагов, перечисленных ниже:

1) вычтите среднее значение каждого интервала значений из его верхней границы; для экономии на материально-техническом обслуживании 20 – 15 = 5 (дол.), для экономии на трудозатратах – 5 дол. и для экономии на сырье и материалах – 3 дол.;

2) возведите в квадрат результаты первого шага 5 2 = 25 (дол.) и т.д.;

3) суммируйте результаты второго шага 25 + 25 + 9 = 59 (дол.);

4) извлеките квадратный корень из полученной суммы: получится 7,7 дол.;

5) сложите все средние значения: 15 + 3 + 6 = 24 (дол.);

6) прибавьте к сумме средних значений результат шага 4 и получите верхнюю границу диапазона: 24 + 7,7 = 31,7 дол.; вычтите из суммы средних значений результат шага 4 и получите нижнюю границу диапазона 24 – 7,7 = 16,3 дол.

Таким образом, 90%-ный доверительный интервал для суммы трех 90%-ных доверительных интервалов по каждому виду экономии составляет 16,3–31,7 дол.

Мы использовали следующее свойство: размах суммарного интервала равен квадратному корню из суммы квадратов размахов отдельных интервалов .

Иногда нечто похожее делают, суммируя все «оптимистические» значения верхней границы и «пессимистические» значения нижней границы интервала. В данном случае мы получили бы на основе наших трех 90%-ных доверительных интервалов суммарный интервал 11–37 дол. Этот интервал несколько шире, чем 16,3–31,7 дол. Когда такие расчеты выполняются при обосновании проекта с десятками переменных, расширение интервала становится чрезмерным, чтобы его игнорировать. Брать самые «оптимистические» значения для верхней границы и «пессимистические» для нижней – все равно что думать: бросив несколько игральных костей, мы во всех случаях получим только «1» или только «6». На самом же деле выпадет некое сочетание низких и высоких значений. Чрезмерное расширение интервала – распространенная ошибка, которая, несомненно, часто приводит к принятию необоснованных решений. В то же время описанный мной простой метод прекрасно работает, когда у нас есть несколько 90%-ных доверительных интервалов, которые необходимо суммировать.

Однако наша цель не только суммировать интервалы, но и умножить их на объем производства, значения которого также даны в виде диапазона. Простой метод суммирования годится только для вычитания или сложения интервалов значений.

Моделирование методом Монте-Карло требуется и тогда, когда не все распределения являются нормальными. Хотя другие типы распределений не входят в предмет данной книги, упомянем о двух из них - равномерном и бинарном (рис. 5, 6).

Рис. 5. Равномерное распределение (не идеальное, а построенное с помощью функции СЛЧИС в Excel)

Особенности:

• вероятность всех значений одинакова;
• распределение симметрично, без перекосов; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами интервала;
• значения за пределами интервала невозможны.

Для построения данного распределения в Excel была использована формула: СЛЧИС()*(UB – LB) + LB, где UB – верхняя граница; LB – нижняя граница; с последующим разбиением всех значений на диапазоны с помощью сводной таблицы.

Рис. 6. Бинарное распределение (распределение Бернулли)

Особенности:

• возможны только два значения;
• существует единственная вероятность одного значения (в данном случае 60%); вероятность другого значения равна единице минус вероятность первого значения

Для построения случайного распределения данного вида в Excel использовалась функция: =ЕСЛИ(СЛЧИС()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Метод впервые использовал математик Станислав Улам (см. ).

Дуглас Хаббард далее перечисляет несколько программ, предназначенных для моделирования методом Монте-Карло. Среди них и Crystal Ball компании Decisioneering, Inc, Денвер, штат Колорадо. Книга на английском языке была издана в 2007 г. Сейчас же эта программа принадлежит уже Oracle . Демо-версия программы доступна для скачивания с сайта компании. О ее возможностях мы и погорим .

См. главу 5 упоминавшейся книги Дугласа Хаббарда

Здесь Дуглас Хаббард под размахом понимает разность между верхней границей 90%-ного доверительного интервала и средним значением этого интервала (или между средним значением и нижней границей, так как распределение симметрично). Обычно под размахом понимают разность между верхней и нижней границами.

6. Моделями типа «черный ящик являются»

1) модели мышления

2) модели, описывающие зависимость параметров состояния объекта от входных параметров

3) модели «аварийного» ящика на самолетах

4) модели, описывающие входные и выходные параметры объекта без учета внутренней структуры объекта

Определение целей моделирования осуществляется на этапе

1) разработки концептуальной модели

2) разработки математической модели

3) разработки имитационной модели

1. постановки задачи

Поставьте в соответствие друг другу определения для представленной таблицы моделирования

Среди общепринятых классификаций видов моделей отсутствует их классификация на

1) дискретные – непрерывные

2) логические – сенсорные

3) детерминированные – стохастические

1. статические – динамические

10. В отношении «объект-модель» не находятся понятия

1) микромир – квантовая механика

2) книга – абзац

3) знания – оценка

4) дом – план

Компьютерные сети

План

1. Основные понятия компьютерных сетей
2. Топология компьютерных сетей
3. Структура вычислительной сети
4. Локальные сети
5. Организация работы в локальной сети
6. Возможности сети Интернет
7. Службы Интернета
8. Сетевая операционная система
9. Тесты для самопроверки

Основные понятия компьютерных сетей

Информационно – вычислительная сеть - ИВС (часто используется название - вычислительная сеть, компьютерная сеть), представляет собой систему компьютеров, объединенных каналами передачи данных.

Канал (channel) - средство или путь, по которому передаются сигналы либо данные.

Основное назначение ИВС - обеспечение различных информационно – вычислительных услуг пользователям сети путем организации их удобного доступа к ресурсам, распределенным в этой сети. В последние годы подавляющая часть услуг сетей лежит в сфере именно информационного обслуживания. В частности, на базе ИВС обеспечивается решение следующих задач: хранение, обработка данных и передача данных и результатов обработки пользователям.

Решение этих задач обеспечивается:

• распределенными в сети аппаратными, программными и информационными ресурсами;
• дистанционным доступом пользователя к любым видам этих ресурсов;
• специализацией отдельных узлов сети на решении задач определенного класса;
• решением сложных задач совместными усилиями нескольких узлов сети.

Первые ИВС появились в 60-х годах, и это было технической революцией, сравнимой по значимости с появлением первых ЭВМ. В них была предпринята попытка объединения технологий сбора, хранения, передачи и обработки информации на ЭВМ с техникой связи.

Одной из первых сетей, оказавших влияние на дальнейшее развитие, явилась сеть АРПА. Она была создана пятидесятью университетами и фирмами США. В последнее время она охватывает всю территорию США, часть Европы и Азии. Её основное значение состоит в том, что она доказала техническую возможность и экономическую целесообразность разработки и эксплуатации больших сетей.

В 60-х годах в Европе были разработаны и внедрены международные сети EIN и Евронет, затем стали появляться национальные сети. В СССР первая сеть стала рентабельной в 60-х годах в Академии наук в Ленинграде. В 1985 г. к ней подсоединилась региональная подсеть «Северо-запад» с академическими центрами в Риге и Москве.

В 1980 г. сдана в эксплуатацию система телеобработки статистической информации (СТОСИ), обслуживающая ГВЦ ЦСУ СССР в Москве и республиканский ВЦ в союзных республиках.

В настоящее время в мире зарегистрировано более 200 глобальных сетей, (при этом более четверти из них – созданы в США). С появлением микроЭВМ и ПЭВМ появились локальные вычислительные сети (ЛВС). Объединение ЛВС с глобальными сетями позволило получить доступ к мировым информационным ресурсам.

В общем случае, для создания компьютерных сетей необходимо специальное аппаратное обеспечение (сетевое оборудование ) и специальное программное обеспечение (сетевые программные средства ).

Технология работы в сети и возникающие при этом возможности зависят как от способов организации каналов связи, так и от программного обеспечения. Можно выделить следующие виды каналов связи и организуемых с их помощью сетей.

Простейшая компьютерная сеть образуется при соединении двух недалеко отстоящих друг от друга компьютеров (в пределах 10 - 20 м) с помощью специального кабеля, называемого нуль-модемом, который подключается к последовательным или параллельным портам обоих компьютеров. Такое временное соединение называется прямым компьютерным соединением (ПКС). В настоящее время получили развитие инфракрасные порты, позволяющие организовать соединение напрямую, без кабеля. ПКС используется в основном для обмена информацией между портативным и стационарным персональным компьютером.

Локальная сеть представляет собой расположенные на небольшом расстоянии компьютеры (на удалении в пределах 50-100 м внутри одного или соседних зданий), между которыми необходимо организовать постоянный информационный обмен, стационарно соединенные специально предназначенными для этих целей кабелями. Благодаря относительно небольшим длинам линий связи, по локальной сети можно передавать информацию в цифровом виде с высокой скоростью. Сеть указанного типа называется локальной вычислительной сетью (ЛВС) или по-английски LAN - Local Area Net .

Распределенная сеть объединяет значительно удаленные друг от друга компьютеры (например, расположенные в разных концах города или в разных городах), между которыми необходимо организовать постоянный обмен большими потоками информации; компьютеры в этих сетях соединяются специальными постоянно действующими выделенными каналами . Физически выделенные каналы могут реализовываться с помощью телефонных каналов или оптических кабелей, а также с помощью спутниковых или радиоканалов. С помощью выделенных каналов обычно соединяются удаленные компьютеры одной организации (например, компьютеры центрального офиса банка с компьютерами в его филиалах). Сети, связывающие значительно удаленные компьютеры, называются распределенными. Доступ к распределенным сетям организаций ограничен определенным кругом лиц, для которых работа в таких сетях связана с выполнением их должностных обязанностей. По своему функциональному назначению сети подобного типа эквиваленты локальным и называются региональными или по-английски Metropolitan Area Net - MAN .

Региональная сеть организации, в которой создана специальная коммуникационная система обмена сообщениями (электронная почта, факс, совместная работа над документами), называется корпоративной .

Глобальная сеть или Wide Area Net – WAN – это сеть компьютеров, распределенных по всему миру и постоянно связанных каналами с очень высокой пропускной способностью, на которых имеется большой объем разнообразной информации, доступной на коммерческой основе всем желающим.

Временная связь между удаленными ПК с помощью обычной телефонной сети через АТС может быть установлена с помощью устройства, называемого модемом (факс-модем). Такой способ связи называется связью по коммутируемому каналу . С помощью модема можно организовать информационный обмен между «обычными компьютерами», можно подключиться к локальной сети офиса или к глобальной сети.

Наряду с сетями, объединяющими несколько компьютеров, существуют сети терминалов, или терминальные сети , связывающие мощные компьютеры (мэйнфреймы) со специальными устройствами - терминалами, которые могут быть достаточно сложными, но вне сети их работа или невозможна, или вообще теряет смысл. Примерами терминальных устройств и терминальных сетей могут служить сеть банкоматов, сеть кассовых аппаратов в магазинах и др.

Методы Монте-Карло используются в основном для вычисления кратных интегралов. В принципе такие интегралы можно вычислить и повторным применением выше изложенных методов. Однако с повышением кратности интеграла резко возрастает объем вычислительной работы. Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло) свободны от этого недостатка, хотя и обеспечивают сравнительно невысокую точность. Существует большое количество вариантов этих методов. Рассмотрим два из них.

Первый из них можно интерпретировать как статистический вариант метода прямоугольников, когда в качестве узла берется случайное число, равномерно распределенное в интервале интегрирования
. Вследствие случайности узла погрешность также будет носить случайный характер. Проведя вычислений с такими случайными узлами, усредняем результат, который и принимаем за приближенное значение интеграла,

. (5.48)

Погрешность вычисления будет уменьшаться с ростом числа используемых узлов расчета функции по закону
. Графическая иллюстрация метода представлена на рисунке 5.5

Рисунок 5.5. Статистический вариант метода прямоугольников

Формула (5.48) обобщается на случай кратных интегралов

Здесь
– -мерный объем области интегрирования . Число узлов, в которых необходимо вычислять подынтегральную функцию, будет пропорционально
.

Во втором варианте метода Монте-Карло интеграл приводится к виду

,(5.50)

где
находится в интервале . Тогда две случайные величины и
можно рассматривать как координаты точек в единичном квадрате (рисунок 5.8). При равномерном распределении точек в квадрате за приближенное значение интеграла принимается отношение количества точек , попавших под кривую
, к общему числу испытаний

.(5.51)

Этот алгоритм также обобщается на кратные интегралы.

Метод наименьших квадратов

Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений вида

. (6.1)

Из курса линейной алгебры известно, что в том случае, когда
и число уравнений равно числу неизвестных система имеет единственное решение. На практике часто встречаются задачи, в которых либо число уравнений не совпадает с числом неизвестных, либо матрица или вектор заданы не полностью или не точно. Решение таких задач строится методом наименьших квадратов (МНК).

6.1. Решение пере- и недоопределенных слау

Задача наименьших квадратов в разных дисциплинах называется по-разному. Например, математически это есть задача отыскания для заданной точки функционального пространства ближайшей точки в заданном подпространстве. Статистика вводит в свою постановку задачи вероятностные распределения и оперирует терминами типа регрессионный анализ. Инженерный подход к решению проблемы анализа сложных систем приводит к задачам оценивания параметров или фильтрации.

Главное состоит в том, что все эти задачи содержат в себе одну и ту же центральную проблему, а именно последовательность линейных задач наименьших квадратов. Эту проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть дана действительная
-матрица ранга
и действительный -вектор . Задача наименьших квадратов состоит в нахождении действительного -вектора , минимизирующий евклидову длину (норму) вектора невязки
.

Здесь не выдвигается никаких предположений относительно сравнительной величины параметров и , поэтому удобно все многообразие разделить на шесть случаев (рис.6.1).

В основе решения задач такого типа лежит представление
-матрицы в виде произведения
, где
и
– ортогональные матрицы. Напомним, что матрица
называется ортогональной, если
( – единичная матрица), из единственности обратной матрицы следует, что и
. Любое разложение
-матрицы такого типа называется его ортогональным разложением. Важным свойством ортогональных матриц является сохранение евклидовой длины при умножении. Это значит, что для любого -вектора и любой ортогональной
-матрицы

.(6.2)

В контексте решения задачи наименьших квадратов минимизации евклидовой нормы имеем

для произвольной ортогональной
-матрицы
и -вектора .

Использование такого разложение позволяет сформулировать задачу метода наименьших квадратов в следующем виде. Пусть – ортогональная
-матрица ранга , представленная в виде

,(6.4)

где
и
– ортогональные матрицы размерности соответственно
и
, а –
-матрица вида

,(6.5)

где
–
-матрица ранга.

Рисунок 6.1. Шесть случаев задачи МНК в соответствии со сравнительной характеристикой величин , и ранга .

Определим вектор

(6.6)

и новую переменную

(6.7)

Определим как единственное решение системы
.

, где

–произвольно. (6.8)

.(6.9)

Для нормы вектора невязки справедливо

Единственным решением минимальной длины является вектор

.(6.11)

Заменим согласно формуле (4) и получим

из уравнений (6.6)-(6.11) следует, что

для всех . Очевидно, что правая часть (6.13) имеет минимальное значение
, если

.(6.14)

Это уравнение допускает единственное решение , так как ранг
равен . Общее решение выражается формулой

,(6.15)

где произвольно. Для вектора из (6.11) имеем

, (6.16)

что устанавливает равенство (6.9). Среди векторов вида (6.15) наименьшую длину (норму) будет иметь тот, для которого
, поэтому из (6.8) получим

,(6.17)

что доказывает (6.11).

В случае
или
величины с размерностями
и
отсутствуют. В частности, при
решение задачи наименьших квадратов единственно. Отметим, что решение минимальной длины (нормы), множество всех решений и минимальное значение для нормы вектора невязки определяются единственным образом и не зависят от вида конкретного ортогонального разложения.

Для дальнейшего ограничимся несколькими утверждениями, приведенными без доказательств.

,(6.18)

где – верхняя треугольная
-матрица ранга . При этом для
-подматрицы
существует ортогональная матрица
такая, что

,

где – нижняя треугольная матрица ранга .

Первое утверждение дает возможность построить разложение матрицы в случаях
и
, где
. Действительно,
( – единичная
-матрица). Для случая
(
) запишем
или
( – единичная
-матрица). Второе утверждение дает возможность построить разложения
для случаев
-
При этом матрица представима в виде

,(6.20)

где
– невырожденная треугольная
-матрица.

— необъемлемая часть любого решения, которое мы принимаем. Мы постоянно сталкиваемся с неопределенностью, неоднозначностью и изменчивостью. И даже несмотря на беспрецедентно широкий доступ к информации, мы не можем точно предсказать будущее. Моделирование по методу Монте-Карло (также известное как метод Монте-Карло) позволяет рассмотреть все возможные последствия ваших решений и оценить воздействие риска, что обеспечивает более высокую эффективность принятия решений в условиях неопределенности.

Что такое моделирование по методу Монте-Карло?
Моделирование по методу Монте-Карло представляет собой автоматизированную математическую методику, предназначенную для учета риска в процессе количественного анализа и принятия решений. Эта методика применяется профессионалами в разных областях, таких как финансы, управление проектами, энергетика, производство, проектирование, НИОКР, страхование, нефтегазовая отрасль, транспорт и охрана окружающей среды.

Каждый раз в процессе выбора направления дальнейших действий моделирование по методу Монте-Карло позволяет специалисту, принимающему решения, рассматривать целый спектр возможных последствий и оценивать вероятность их наступления. Этот метод демонстрирует возможности, лежащие на противоположных концах спектра (результаты игры ва-банк и принятия наиболее консервативных мер), а также вероятные последствия умеренных решений.

Впервые этим методом воспользовалась ученые, занимавшиеся разработкой атомной бомбы; его назвали в честь Монте-Карло - курорта в Монако, известного своими казино. Получив распространение в годы Второй мировой войны, метод Монте-Карло стал применяться для моделирования всевозможных физических и теоретических систем.

Посмотреть отзывы
Даглас Хаббард
Hubbard Decision Research
Время : 00:35 сек

«Моделирование по методу Монте-Карло — единственный способ выполнить анализ ответственных решений в условиях неопределенности»

Джон Чжао
Suncor Energy
Время : 02:36 мин

«Проведение моделирования по методу Монте-Карло при оценке капитальных затрат стало [в Suncor] обязательным требованием для любых крупных проектов»

Как выполняется моделирование по методу Монте-Карло
В рамках метода Монте-Карло анализ риска выполняется с помощью моделей возможных результатов. При создании таких моделей любой фактор, которому свойственна неопределенность, заменяется диапазоном значений - распределением вероятностей. Затем выполняются многократные расчеты результатов, причем каждый раз используется другой набор случайных значений функций вероятности. Порой для завершения моделирования бывает необходимо произвести тысячи и даже десятки тысяч перерасчетов - в зависимости от количества неопределенностей и установленных для них диапазонов. Моделирование по методу Монте-Карло позволяет получить распределения значений возможных последствий.

При использовании распределений вероятностей переменные могут иметь разные вероятности наступления разных последствий. Распределения вероятностей представляют собой гораздо более реалистичный способ описания неопределенности переменных в процессе анализа риска. Ниже перечислены наиболее распространенные распределения вероятностей.

Нормальное распределение (или « гауссова кривая »). Чтобы описать отклонение от среднего, пользователь определяет среднее или ожидаемое значение и стандартное отклонение. Значения, расположенные посредине, рядом со средним, характеризуются наиболее высокой вероятностью. Нормальное распределение симметрично и описывает множество обычных явлений - например, рост людей. К примерам переменных, которые описываются нормальными распределениями, относятся темпы инфляции и цены на энергоносители.

Логнормальное распределение. Значения имеют положительную асимметрию и в отличие от нормального распределения несимметричны. Такое распределение используется для отражения величин, которые не опускаются ниже нуля, но могут принимать неограниченные положительные значения. Примеры переменных, описываемых логнормальными распределениями, включают стоимость недвижимого имущества, цены на акции и нефтяные запасы.

Равномерное распределение. Все величины могут с равной вероятностью принимать то или иное значение, пользователь просто определяет минимум и максимум. К примерам переменных, которые могут иметь равномерное распределение, относятся производственные издержки или доходы от будущих продаж нового продукта.

Треугольное распределение. Пользователь определяет минимальное, наиболее вероятное и максимальное значения. Наибольшую вероятность имеют значения, расположенные возле точки максимальной вероятности. В число переменных, которые могут быть описаны треугольным распределением, входят продажи за минувший период в единицу времени и уровни запасов материальных оборотных средств.

PERT-распределение. Пользователь определяет минимальное, наиболее вероятное и максимальное значения — так же, как при треугольном распределении. Наибольшую вероятность имеют значения, расположенные возле точки максимальной вероятности. Однако величины в диапазоне между наиболее вероятным и предельными значениями проявляются с большей вероятностью, чем при треугольном распределении, то есть отсутствует акцент на предельных значениях. Пример использования PERT-распределения — описание продолжительности выполнения задачи в рамках модели управления проектом.

Дискретное распределение. Пользователь определяет конкретные значения из числа возможных, а также вероятность получения каждого из них. Примером может служить результат судебного процесса: 20% вероятность положительного решения, 30% вероятность отрицательного решения, 40% вероятность соглашения сторон и 10% вероятность аннулирования судебного процесса.

При моделировании по методу Монте-Карло значения выбираются случайным образом из исходных распределений вероятности. Каждая выборка значений называется итерацией; полученный из выборки результат фиксируется. В процессе моделирования такая процедура выполняется сотни или тысячи раз, а итогом становится распределение вероятностей возможных последствий. Таким образом, моделирование по методу Монте-Карло дает гораздо более полное представление о возможных событиях. Оно позволяет судить не только о том, что может произойти, но и о том, какова вероятность такого исхода.

Моделирование по методу Монте-Карло имеет ряд преимуществ по сравнению с детерминистским анализом, или анализом « по точечным оценкам»:

• Вероятностные результаты. Результаты демонстрируют не только возможные события, но и вероятность их наступления.
• Графическое представление результатов. Характер данных, получаемых при использовании метода Монте-Карло, позволяет создавать графики различных последствий, а также вероятностей их наступления. Это важно при передаче результатов другим заинтересованным лицам.
• Анализ чувствительности. За редким исключением детерминистский анализ затрудняет определение того, какая из переменных в наибольшей степени влияет на результаты. При проведении моделирования по методу Монте-Карло несложно увидеть, какие исходные данные оказывают наибольшее воздействие на конечные результаты.
• Анализ сценариев. В детерминистских моделях очень сложно моделировать различные сочетания величин для различных исходных значений, и, следовательно, оценить воздействие по-настоящему отличающихся сценариев. Применяя метод Монте-Карло, аналитики могут точно определить, какие исходные данные приводят к тем или иным значениям, и проследить наступление определенных последствий. Это очень важно для проведения дальнейшего анализа.
• Корреляция исходных данных. Метод Монте-Карло позволяет моделировать взаимозависимые отношения между исходными переменными. Для получения достоверных сведений необходимо представлять себе, в каких случаях при увеличении некоторых факторов соответствующим образом возрастают или снижаются другие.

Вы также можете улучшить результаты моделирования по методу Монте-Карло путем проведения выборки с применением метода « латинский гиперкуб», в рамках которого отбор производится с большей точностью из всего интервала функций распределения.

Продукты Palisade для моделирования
по методу Монте-Карло
Появление приложений, предназначенных для работы с электронными таблицами на персональных компьютерах, открыло перед специалистами широкие возможности для использования метода Монте-Карло при проведении анализа в повседневной деятельности. Microsoft Excel относится к числу наиболее распространенных аналитических инструментов для электронных таблиц, а программа представляет собой основной плагин Palisade для Excel, позволяющий выполнять моделирование по методу Монте-Карло. Впервые программа @RISK была представлена для Lotus 1-2-3 на базе операционной системы DOS в 1987 году и благодаря точности расчетов, гибкости моделирования и простоте использования сразу же заслужила превосходную репутацию. Появление Microsoft Project привело к созданию другого логического приложения для применения метода Монте-Карло. Его основная задача заключалась в анализе неопределенностей и рисков, связанных с управлением крупными проектами.