Квадратные неравенства с двумя переменными. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Определение неравенств с переменными
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными
Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.
Уравнение с двумя переменными;
Неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;
Здесь х и у - переменные, р - выражение, от них зависящее
Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.
Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу - найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.
Пример 1 - решить уравнение и неравенство:
Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.
Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:
Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую
Рис. 1. График уравнения, пример 1
Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х 0 , х 0 +1)
Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х 0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .
Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.
Пример 2 - решить уравнение и неравенство:
Мы знаем, что заданное уравнение - это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2
В произвольной точке х 0 уравнение имеет два решения: (х 0 ; у 0) и (х 0 ; -у 0).
Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).
Рассмотрим уравнение с модулями.
Пример 3 - решить уравнение:
В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х 0 ; у 0) является решением, то и точка (х 0 ; -у 0) - также решение, точки (-х 0 ; у 0) и (-х 0 ; -у 0) также являются решением.
Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3
Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.
Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.
Пример 4 - изобразить множество решений неравенства:
Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:
Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.
ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.
Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:
Строим график функции.
Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ
Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D 1 . Между отрезком ломаной и прямой - область D 2 , ниже прямой - область D 3 , между отрезком ломаной и прямой - область D 4
В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.
В области возьмем точку (0;1). Имеем:
В области возьмем точку (10;1). Имеем:
Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
В области возьмем точку (0;-5). Имеем:
Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» предназначен для обучения алгебре по данной теме в 9 классе общеобразовательной школы. Видеоурок содержит описание теоретических основ решения неравенств, подробно описывает процесс решения неравенств графическим способом, его особенности, демонстрирует примеры решения заданий по теме. Задача данного видеоурока - при помощи наглядного представления информации облегчить понимание материала, способствовать формированию умений в решении задач с применением изученных математических методов.
Основными инструментами видеоурока являются использование анимации в представлении графиков и теоретических сведений, выделение понятий, особенностей, важных для понимания и запоминания материала, цветом и другими графическими способами, голосовое сопровождение объяснения с целью более легкого запоминания информации и формирования умения использования математического языка.
Видеоурок начинается и представления темы и примера, демонстрирующего понятие решения неравенства. Для формирования понимания смысла понятия решения представлено неравенство 3х 2 -у<10, в которое подставляется пара значений х=2 и у=6. Демонстрируется, как после подстановки данных значений неравенство становится верным. Понятие решения данного неравенства как пары значений (2;6) выведено на экран, подчеркивая его важность. Затем представляется определение рассмотренного понятия для запоминания его учениками или записи в тетрадь.
Важной частью умения решать неравенства является умение изобразить на координатной плоскости множество его решений. Формирование такого умения в данном уроке начинается с демонстрации нахождения множества решений линейных неравенств ax+by
Примером такого неравенства является х+3у>6. Чтобы преобразовать неравенство в равносильное неравенство, отражающее зависимость значений у от значений х, обе части неравенства делятся на 3, у остается в одной части уравнения, а х переносится в другую. Произвольно выбирается значение х=3 для подстановки в неравенство. Отмечается, что данное значение х подставить в неравенство и заменить знак неравенства знаком равенства, можно найти соответствующее значение у=1. Пара (3;1) будет являться решением уравнения у=-(1/3)х+2. Если же подставлять любые значения у, большие 1, то неравенство с данным значением х будет верно: (3;2), (3;8) и др. Аналогично данному процессу нахождения решения рассматривается общий случай для поиска множества решений данного неравенства. Поиск множества решений неравенства начинается с подстановки некоторого значения х 0 . В правой части неравенства получается выражение -(1/3)х 0 +2. Некоторая пара чисел (х 0 ;у 0) является решением уравнения у=-(1/3)х+2. Соответственно решениями неравенства у>-(1/3)х 0 +2 будут соответствующие пары значений с х 0 , где у больше значений у 0 . То есть решениями этого неравенства будут пары значений (х 0 ;у).
Чтобы найти на координатной плоскости множество решений неравенства х+3у>6, на ней демонстрируется построение прямой, соответствующей уравнению у=-(1/3)х+2. На данной прямой отмечается точка М с координатами (х 0 ;у 0). При этом отмечается, что все точки К(х 0 ;у) с ординатами у>у 0 , то есть расположенные выше данной прямой, будут удовлетворять условиям неравенства у>-(1/3)х+2. Из анализа делается вывод о том, что данным неравенство задается множество точек, которые располагаются выше прямой у=-(1/3)х+2. Это множество точек составляют полуплоскость над данной прямой. Так как неравенство строгое, сама прямая не входит в число решений. На рисунке данный факт отмечен пунктирным обозначением.
Обобщая данные, полученные в результате описания решения неравенства х+3у>6, можно говорить о том, что прямая х+3у=6 разбивается плоскость на две полуплоскости, при этом расположенная выше полуплоскость отражает множество значений удовлетворяющих неравенству х+3у>6, а распложенная ниже прямой - решение неравенства х+3у<6. Данный вывод является важным для понимания, каким образом решаются неравенства, поэтому выведен на экран отдельно в рамке.
Далее рассматривается пример решения нестрогого неравенства второй степени у>=(х-3) 2 . Для определения множества решений рядом на рисунке строится парабола у=(х-3) 2 . На параболе отмечается точка М(х 0 ;у 0), значения которой будут решениями уравнения у=(х-3) 2 . В данной точке строится перпендикуляр, на котором выше параболы отмечается точка К(х 0 ;у), которая будет решением неравенства у>(х-3) 2 . Можно сделать вывод о том, что исходному неравенству удовлетворяют координаты точек, расположенных на данной параболе у=(х-3) 2 и выше ее. На рисунке данную область решений отмечают штрихованием.
Следующим примером, демонстрирующим положение на плоскости точек, являющихся решением неравенства второй степени, является описание решения неравенства х 2 +у 2 <=9. На координатной плоскости строится окружность радиусом 3 с центром в начале координат. Отмечается, что решениями уравнения будут точки, сумма квадратов координат которых не превышает квадрата радиуса. Также отмечается, что окружность х 2 +у 2 =9 разбивает плоскость на области внутри окружности и вне круга. Очевидно, что множество точек внутренней части круга удовлетворяют неравенству х 2 +у 2 <9, а внешняя часть - неравенству х 2 +у 2 >9. Соответственно, решением исходного неравенства будет множество точек окружности и области внутри ее.
Далее рассматривается решение уравнения ху>8. На координатной плоскости рядом с заданием строится гипербола, удовлетворяющая уравнению ху=8. Отмечается точка М(х 0 ;у 0), принадлежащая гиперболе и К(х 0 ;у) выше ее параллельно оси у. Очевидно, что координаты точки К соответствуют неравенству ху>8, так как произведение координат данной точки превосходит 8. Указывается, что таким же способом доказывается соответствие точек, принадлежащих области В, неравенству ху<8. Следовательно, решением неравенства ху>8 будет множество точек, лежащих в областях А и С.
Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» может послужить наглядным пособием учителю на уроке. Также материал поможет ученику, самостоятельно осваивающему материал. Полезно использование видеоурока при дистанционном обучении.
Системы неравенств
с двумя переменными
К учебнику Ю.Н.Макарычева
Алгебра, 9 класс, Глава III §
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Решение системы неравенств
с двумя переменными
Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений этих переменных, являющаяся как решением первого неравенства, так и второго неравенства системы.
(1; 2) – решение?
(2; 1) – решение?
(1; 2) – решение
(2; 1) –не решение
Изображение множества решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости
Парабола разбивает координатную плоскость на две области. Решением неравенства является область с точкой А.
Изображение множества решений системы неравенств с двумя переменными на координатной плоскости
Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений неравенств, входящих в систему. На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, являющихся общей частью множеств, представляющих собой решения каждого неравенства системы.
х = 2
- Построим прямую х = 2.
- Построим прямую у = -3.
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
у = -3
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (прямой угол)
- Построим прямую 2у + 3х = 6
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую у - 2х = -3
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (угол)
- Построим прямую у = 2 х + 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую у = 2 х - 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (полоса)
- Построим окружность х 2 + у 2 = 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую 2х + у = 0
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются точки полукруга
- Построим параболу у = (х - 1) 2 -2
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим окружность (х-1) 2 +(у+2) 2 =1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются точки пересечения множеств решений неравенств системы
Изобразить множество точек, которые являются решениями системы и вычислить площадь получившейся фигуры
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными
Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.
Уравнение с двумя переменными;
Неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;
Здесь х и у - переменные, р - выражение, от них зависящее
Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.
Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу - найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.
Пример 1 - решить уравнение и неравенство:
Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.
Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:
Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую
Рис. 1. График уравнения, пример 1
Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х 0 , х 0 +1)
Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х 0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .
Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.
Пример 2 - решить уравнение и неравенство:
Мы знаем, что заданное уравнение - это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2
В произвольной точке х 0 уравнение имеет два решения: (х 0 ; у 0) и (х 0 ; -у 0).
Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).
Рассмотрим уравнение с модулями.
Пример 3 - решить уравнение:
В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х 0 ; у 0) является решением, то и точка (х 0 ; -у 0) - также решение, точки (-х 0 ; у 0) и (-х 0 ; -у 0) также являются решением.
Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3
Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.
Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.
Пример 4 - изобразить множество решений неравенства:
Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:
Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.
ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.
Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:
Строим график функции.
Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ
Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D 1 . Между отрезком ломаной и прямой - область D 2 , ниже прямой - область D 3 , между отрезком ломаной и прямой - область D 4
В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.
В области возьмем точку (0;1). Имеем:
В области возьмем точку (10;1). Имеем:
Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
В области возьмем точку (0;-5). Имеем:
Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся
«Портфолио»
Уравнения и неравенства с двумя переменными
и их геометрическое решение.
Федорович Юлия
ученица 10 класса
МОУ СОШ №26
Руководитель:
Кульпина Е.В.
учитель математики
МОУ СОШ №26
г.Зима, 2007г.
Введение.
2. Уравнения с двумя переменными, их геометрическое решение и применение.
2.1 Системы уравнений.
2.2 Примеры решения уравнений с двумя переменными.
2.3. Примеры решения систем уравнений с двумя переменными.
3. Неравенства и их геометрическое решение.
3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными
4. Графический метод решения задач с параметрами.
5.Заключение.
6.Список использованной литературы.
1.Введение
Я взяла работу на эту тему, потому что изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики, и свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда точные значения корней.
В технике и физике часто используются именно графическим способом задания функций. Ученый- сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследовавший больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно- важность самостоятельной работы над ним.
С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства.
Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.
Уравнение вида f (x ; y )=0 называется уравнением с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f (α; β)=0
Например, для уравнения ((х
+1)) 2 + у
2
=0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1)
) 2 +0 2 имеет смысл и равно нулю, но упорядоченная пара чисел (-1;0) не является решением, так как не определен
и поэтому выражение ((-1+1)) 2 +0 2 не имеет смысла.
Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.
Уравнения с двумя переменными может:
а) иметь одно решение. Например, уравнение х 2 +у 2 =0 имеет одно решение (0;0);
б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (│х │- 1) 2 +(│у │- 2) 2 имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);
в) не иметь решений. Например уравнение х 2 +у 2 + 1=0 не имеет решений;
г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений
Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f (x ; y )= g (x ; y ) . На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f (x ; y )= g (x ; y ) есть уравнение этой линии, например:
рис.1 рис.2 рис.3
рис.4 рис.5 рис.6
2.1 Системы уравнений
Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у
F 1 (x ; y )=0 и F 2 (x ; y )=0
Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г 1 , а второе - линию Г 2 . Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде
Решением системы называется такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.
Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.
В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.
Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений
Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R=
c центром (0;0), а второе – параболу, вершина которой находится в той же точке. Теперь ясно, что имеются две точки пересечения этих линий. Следовательно, система имеет два решения – это (1;1) и (-1;1)
Примеры решения уравнений с двумя переменными
Изобразите все точки с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.
1. (х-1)(2у-3)=0
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.
2. (х-у)(х 2 -4)=0
Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений
На координатной плоскости решение будет выглядеть так
3.
=х
2
Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины и заменим данное уравнение равносильной совокупностью двух систем
у=х 2 +2х у = -х 2 +2х
х 2 +2х=0 х в =1 у в =1
х(х+2)=0
х в =-1 у в =1-2=-1
Примеры решения систем.
Решить систему графическим способом:
1)
В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций:
у =
+1
а) построим график функции у=
График функции у =+1 получается из графика у = путем сдвига на две единицы вправо и на одну единицу вверх:
у = - 0,5х+2 - это линейная функция, графиком которой является прямая
Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.
Ответ (2;1)
3.Неравенства и их геометрическое решение.
Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f (x ; y ) >0, где Z = f (x ; y ) – функция двух аргументов х и у . Если мы рассмотрим уравнение f (x ; y ) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т.е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f (x ;у) >0.
Рассмотрим линейное неравенство ax + by + c >0. Если один из коэффициентов a или b отличен от нуля, то уравнение ax + by + c =0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax + by + c . Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции z в этой точке.
Например:
3х – 2у +6 >0.
f (x ;у) = 3х- 2у +6,
f (-3;0) = -3 <0,
f (0;0) = 6>0.
Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости (закрашенной на рисунке 1)
Рис. 1
Неравенству │y│+0,5 ≤
удовлетворяет множество точек плоскости (х;у),
заштрихованной на рисунке 2. Для построения данной области воспользуемся определением абсолютной величины и способами построения графика функции с помощью параллельного переноса графика функции по оси ОХ или ОУ
Р
ис.2
f
(x
;
y
) =
f (0;0) = -1,5<0
f (2;2)= 2,1>0
3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.
Изобразите множество решений неравенства
а)
у=х 2 -2х
у=|х 2 -2х|
|у|=|х 2 -2х|
f
(x
;
y
)=
f (1;0)=-1<0
f (3;0) = -3<0
f (1;2) =1>0
f (-2;-2) = -6<0
f (1;-2)=1>0
Решением неравенства является закрашенная область на рисунке 3. Для построения данной области применялись способы построения графика с модулем
Рис. 3
1)
2)
<0
f(2;0)=3>0
f(0;2)=-1<0
f(-2;0)=1>0
f(0;-2)=3>0
Для решения данного неравенства воспользуемся определением абсолютной величины
3.2. Примеры решения систем неравенств.
Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости
а)
б)
4. Графический метод решения задач с параметрами
Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры
По рисунку видно, что прямая у=4
пересекает график функции у=
в трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а=
4.
Найти все значения параметра а , при которых уравнение х 2 -6|х|+5=а имеет ровно три различных корня.
Решение: Построим график функции у=х 2 -6х+5 для х ≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а =5
3. Найти все значения а,
при которых неравенство
имеет хотя бы одно положительное решение.
Множество точек координатной плоскости, значения координаты х и параметра а которых удовлетворяют данному неравенству, представляют собой объединение двух областей, ограниченных параболами. Решением данного задания является множество точек, расположенных в правой полуплоскости при
х+а+х<2